Question

已知椭圆的左、右焦点为别为、，且过点和.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）将点和代入椭圆方程解得，即可得椭圆方程；

（2）当的斜率不存在时，易得；当的斜率存在时，设的方程为，联立，得：，设，利用韦达定理得，则，点到直线的距离是点到直线的距离的2倍，则，得；进行比较，得出面积的最大值.

（1）根据题意得，将点和代入椭圆方程得：，

解得：，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得椭圆的，，

①当的斜率不存在时，易知，

；

②当的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，消去得：

设，，

，

点到直线的距离，因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，

所以

综上，面积的最大值为.