Question

已知x，y，z均为正数．

（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）若＝，求2^xy⋅2^yz⋅2^xz的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）最小值为8

【解析】

（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.

（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.

（1）证明：∵x，y，z均为正数，

∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，

当且仅当x＝y＝z时取等号．

又∵0＜xy＜1，∴，

∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）∵＝，即．

∵，

，

，

当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，

∴，

∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，

∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．