Question

已知函数，

（1）若，求的单调区间；

（2）若有最大值3，求的值.

（3）若的值域是，求的取值范围.

Answer

（1）函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2)；（2）a=1；（3）{0}

【解析】

（1）当a=−1时，，令，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；

（2）令，，由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值−1，进而可得a的值．

（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使的值域为R，进而可得a的取值范围．

(1)当a=−1时, ，

令，

由于g(x)在(−∞,−2)上单调递增,在(−2,+∞)上单调递减，

而在R上单调递减，

所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减,在(−2,+∞)上单调递增，

即函数f(x)的递增区间是(−2,+∞),递减区间是(−∞,−2).

(2)令,,由于f(x)有最大值3，

所以h(x)应有最小值−1，

因此=−1，

解得a=1.

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(3)由指数函数的性质知，

要使y=h(x)的值域为(0,+∞).

应使的值域为R，

因此只能有a=0.

因为若a≠0,则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.

故a的取值范围是{0}.