Question

设数列的前项的和为，且，.

（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和；

（3）设函数（为常数），且（2）中的＞对任意的和都成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析，（）；（2）；（3）

【解析】

（1）由，可得时，；，．变形为：，即可证明数列是等比数列，可得．再利用：时，，即可得出；

（2）由（Ⅰ）知，裂项相消法可得；

（3）由对所有的和都成立，可得：，利用数列的单调性与二次函数的单调性即可得出．

（1）证：∵，

∴，

∵，∴，

∴数列是首项为2，公比的等比数列，

∴，即，

当时，，

当时，，满足上式，

故数列的通项公式（）；

（2）【解析】
∵，

∴=，

（3）【解析】
显然，故由题知对任意的，都有，

即对任意的恒成立，

∴，即，∴，

故实数的取值范围是．