Question

已知常数，数列的前n项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；

（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得？若存在，试求出p、q的一组值（不论有多少组，只要求出一组即可）；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）且（3）存在满足要求的p，q，且有一组值为

【解析】

(1)利用关系结合题目条件消去，得到的递推关系，从而求出的通项公式.
(2) 数列是单调递增数列,则恒成立，从而得到，再分的奇偶性讨论求解，从而得到答案.
(3)由（1），，可化为，得，令或，可得答案.

【解析】
（1）∵

∴

∴

相减得

即

其中

∴为定值

∴是以2为首项为公差的等差数列

∴

方法二：∵

∴

∴

其中

∴为定值

∴是以2为首项a为公差的等差数列

∴

∴

（2）由是单调递增数列

得

即

即

1°若n为正奇数

则在n为正奇数时恒成立

设

则

∴

∴即

方法二：则

它在时为正，在为负

∴

∴即

2°若n为正偶数

则在n为正偶数时恒成立

设

则

∴

∴

方法二：则

∴

∴

综合1°2°及得且

（3）由（1）得

∴可化为

方法一：即

任意给定的正整数,为正整数，则

令得

（或令得，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组）

∴存在满足要求的p，q，且有一组值为

方法二：即即

令即

（或令即，或交换前两组p，q的值，共能确定四组）

∴存在满足要求的p，q，且有一组值为