Question

已知正项数列与正项数列的前项和分别为和，且对任意，恒成立.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若，求；

（3）若对任意，恒有及成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据与的关系，可得，然后计算，可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，然后根据，以及公式法，可得结果.

（3）根据的关系，可得，进一步可得，然后计算，最后根据裂项相消求和，可得结果.

（1）由

则

两式相减可得：

当时，

又，故

所以

数列是以2为首项，1为公差的等差数列

所以

（2）由

所以，又

所以

数列是以1为首项，为公差的等差数列

所以，

即

（3）由①，可知②

②-①：③

又，把③代入，

可得，

所以

数列是以为首项，2为公比的等比数列

所以，

则，

所以

令

所以

即，

可知是在的递增的数列

由，且

故