Question

已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求实数的值；

（2）用定义证明在上是增函数；

（3）解关于的不等式.

Answer

（1）（2）证明见解析.（3）

【解析】

（1）由奇函数的性质及,可得关于的方程组,解方程组即可求得的值.

（2）根据定义,任取且,则利用作差法求得,化简变形后结合条件判断符号,即可证明在上是增函数;

（3）根据已得为奇函数,且在上是增函数.解不等式组即可求得的取值范围.

（1）函数是定义在上的奇函数,

由奇函数性质可知,再由

可得,所以解得

即

（2）证明:由（1）可得

任取且

则

因为且

所以,,

所以

则

即

所以在上为增函数

（3）不等式

变形可得

因为在为奇函数,

所以

在上单调递增

所以,解不等式组可得

即的取值范围为