Question

定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界

（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）是有界函数;（2）

【解析】

（1）分离常数后,可得函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得的取值范围.

（2）根据有界函数定义,可得的值域.代入解析式可分离得的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围.

（1）

则在上单调递增

所以对任意满足

而

所以

若恒成立,则

即所有上界的值的集合为

（2）函数在上是以为上界的有界函数

根据有界函数定义,可知在上恒成立

所以

即

化简变形可得

令

则在上恒成立

即满足

由二次函数性质可知,,当时,

,所以当时,

即,

故的取值范围为