Question

已知函数，是偶函数.

（1）求的值；

（2）若函数的图象在直线上方，求的取值范围；

（3）若函数，，是否存在实数使得的最小值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）根据偶函数定义,代入后根据对数的性质与运算化简,即可求得的值.

（2）根据函数的图象在直线上方,可知对于任意恒成立.分离参数,并构造函数.根据对数函数的性质即可求得的取值范围.

（3）将的解析式代入,化简后利用换元法转化为二次函数.讨论二次函数的对称轴与区间的关系,即可求得最小值为0时的值,取符号要求的即可.

（1）函数,是偶函数

则满足

所以

即

所以

解得

（2）由（1）可知,

因为函数的图象在直线上方

所以对于任意恒成立

代入可得

所以对于任意恒成立

令

因为

所以由对数的图像与性质可得

所以

（3）,,

且

代入化简可得

令,因为

所以

则

当,即时,在上为增函数,

所以

解得,不合题意,舍去

当,即时,在上为减函数,在上为增函数,

所以

解得,所以

当,即时, 在上为减函数,

所以

解得不合题意,舍去

综上可知,