Question

如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点.已知AB=3米，AD=2米.

   （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围；

（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小，并求出最小面积.

Answer

（1）；（2）的长为米时，矩形的最小面积为平方米.

【解析】

（1）设，则，表示出矩形的面积，利用矩形的面积大于平方米，即可求得的取值范围；

（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可得到结论．

（1）（），则由，得，

∴，

由，得，

又，所以，解得，或，

所以的长度的取值范围为；

（2）因为，

当且仅当，即时，等号成立．

所以当的长度是时，矩形的面积最小，最小值为．

【点晴】

本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、函数关系式的求解，基本不等式求最值的应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，本题的解答中根据题设条件列出关系式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．