Question

设数列的前n项和为，对任意的正整数n，都有成立，记.

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)求证：①对恒成立.②对恒成立，其中为数列的前n项和.

(3)记，为的前n项和，求证：对任意正整数n，都有.

Answer

(1)，；(2)①证明见解析；②证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

（1）利用递推关系式证得数列是等比数列，由此求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式.

（2）①利用（1）中求得的数列的通项公式，化简，由此证得.

②将分成偶数和奇数两种情况，利用分组求和法，证得对恒成立.

（3）化简，得到，利用放缩法证得.

(1)【解析】
当时，，∴.

又∵，，

∴，即，

∴数列成等比数列，其首项为，公比，

∴，∴；

(2)证明：①由(1)知.

注意到，所以

∵；

②当n为偶数时，设，

则；

当n为奇数时，设，

则，

∴对一切的正整数n，都有；

(3)证明：由(1)知，

得

.

又，，∴，

∴当时，；

当时，.