Question

直四棱柱中，，，E、F分别为棱AB、上的点，，.求证：

（1）平面；

（2）线段AC上是否存在一点G，使面面.若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）存在，

【解析】

（1）以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系：根据向量的坐标可得，由此可证平面；

（2）将问题转化为线段AC上是否存在一点G，使，则问题不难求解.

（1）如图所示：以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系：

则，，，设，则，，

所以，，，

因为，所以，，共面，又不在平面内，

所以平面

（2）线段AC上存在一点G，使面面，且，

证明如下：在三角形中，由余弦定理得

，

所以，即，

又平面，平面，

、所以，而，

所以平面，

因为平面，

所以面，