Question

如图，E，F分别为边长为2的正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线折起，使得B，C，D三点重合于点O，点O在平面AEF上的射影H.

（1）求证：面面OEA；

（2）求证：点H是的垂心；

（3）求OH的长.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

（1）通过证明平面后，再利用面面垂直的判定定理可证；

（2）连接，延长交于，根据已知可证，同理可证，根据垂心的定义可知结论正确；

（3）利用等体积法可求得结果.

（1）因为，所以，

又，所以平面，

又平面，所以面面OEA

（2）连接，延长交于，

因为，且，

所以平面，所以，

因为是在平面AEF上的射影，所以平面，

所以，

因为，所以平面，所以，

同理可证，

所以点H是的垂心

（3）因为

=，

所以，所以.