Question

已知双曲线的左、右顶点分别是,,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.

Answer

.

【解析】

设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,结合已知,即可求得答案.

不妨设点的坐标为,

由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,

,,

,

当且仅当,即当时,等号成立,

此时最大,即的外接圆面积取最小值.

点的坐标为,代入,

可得,.

双曲线的方程为.

故答案为:.