已知函数. （1）若，求在上的最大值；（2）当时，有两个极值点、，证明：.

已知函数.

（1）若，求在上的最大值；

（2）当时，有两个极值点、，证明：.

（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可求出函数在区间上的最大值；（2）由题意可知、为方程的两根，根据方程有两个正根求出实数的取值范围，利用韦达定理将表示以为自变量的函数，，然后利用导数证明出即可. （1）因为，所以，则，所以，函数在区间上为增函数，因此，函数在区间上的最大值为；（2），，因为有两个极值点、，所以、为方程的两根，则有，解得. 所以. 令，，则恒成立，所以，函数在上单调递增，所以，即.

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.