Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，，记.

（1）求b₁，b₂的值；

（2）证明：数列{b_n}是等比数列；

（3）求数列{a_n}的通项公式.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）an.

【解析】

（1）根据递推关系式，求得的值.

（2）根据递推关系式，推导出，由此证得是等比数列.

（3）由（1）求得数列通项公式，由此求得的表达式，进而的表达式，从而求得数列的通项公式.

（1）a1=1，，记.

b1=a2a1+1﹣1.

a3=a2﹣44.

b2=a4a3+3﹣1a3+22.

（2）bn=a2na2n﹣1+2n﹣2，

n≥2时，a2n﹣1=a2n﹣2﹣2（2n﹣2）=a2n﹣2﹣4n+4.

∴bna2n﹣1+2n﹣2（a2n﹣2﹣4n+4）+2n﹣2a2n﹣2bn﹣1，

n=1时，b2b1.

∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为.

（3）【解析】
由（2）可得：bn.

∴a2n.

又a2na2n﹣1+2n﹣2.

解得：a2n﹣14﹣4n.

综上可得：数列{an}的通项公式：an，k∈N*.