Question

在中，内角，，对边的边长分别是，，，已知，.

（1）若的面积等于，试判断的形状，并说明理由；

（2）若是锐角三角形，求周长的取值范围.

Answer

（1）为等边三角形，详见解析（2）

【解析】

（1）利用三角形的面积公式和余弦定理解三角形，求得，由此判断出三角形是等边三角形.

（2）利用正弦定理求得，，利用三角形是锐角三角形求得，利用三角恒等变换化简的表达式，结合三角函数值域的求法，求得三角形周长的取值范围.

（1）∵的面积等于，

∴即即，

由余弦定理得，

即，

∴，∴，

∴，为等边三角形.

（2）由正弦定理得，，

∴，，

∵，∴，，是锐角三角形，

∴即，∴，

∴的周长为

∵，∴，

∴，∴，

∴的周长的取值范围是.