Question

已知函数，是其导函数．

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若，证明：在区间内至多有1个零点．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导函数，计算出与利用点斜式求出直线方程；

（Ⅱ）由，设，则，即，对求导，研究其单调性及零点情况，即可得证.

【解析】
（Ⅰ）当时，，则，

又，

则在处的切线方程为：，

即．

（Ⅱ），

又，设，

，

，

因，故，

又，故对恒成立，即在区间单调递增；

又，；

故当时，，此时在区间内恰好有个零点．

当时，，此时在区间内没有零点；

综上结论得证．