Question

已知函数.

（1）求函数在上的最大值；

（2）若函数有两个零点，证明：.

Answer

（1）见详解；（2）见详解

【解析】

（1）利用导数判断函数单调性，结合分类讨论的方法，可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，然后判断的范围，可得，结合，可得结果.

【解析】
（1）因为，

则.

令，解得.

当时，；

当时，，

故函数的增区间为；

减区间为.

当，即时，在区间上

单调连增，则；

当，即时，

在区间上单调递墙，在区间上

单调递减，则；

当，即时，在区间上

单调递减，则.

（2）证明：若函数有两个零点，

则，可得.

则，此时，

由此可得，

故，即.

又因为，

所以.

则