Question

已知函数，．

（1）若不等式对恒成立，求的最小值；

（2）证明：．

Answer

（1）最小值为．（2）见解析

【解析】

（1）化简得到，令，求函数的最大值得到答案.

（2）变换得到，分别求表达式两边的最值得到答案.

（1）即，化简可得．

令，，因为，所以，，

所以，在上单调递减，，

所以的最小值为．

（2）证要证，即

两边同除以可得．

设，则，

在上，，所以在上单调递减，

在上，，所以在上单调递增．所以．

设，因为在上是减函数，所以，

所以，即．