Question

如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是规划的生态文旅园区，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为千米.根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点（不与重合）.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数；

（2）已知公路每千米的造价为万元，问建造这样一条公路，至少要投入多少万元？

Answer

（1）其中.（2）万元.

【解析】

（1）根据与扇形弧相切于点，可得，在中，由，根据三角函数的定义得，同理在中，，从而得到.

（2）由（1）知，若造价最小，则MN最小，而MN变形转化为，只要求得最大值即可.

（1）因为与扇形弧相切于点，所以.在中，因为，

所以，在中，，所以，

所以，其中.

（2）

因为，所以，∴时，取最小值，

∴建造这样一条公路，至少要投入万元.