Question

已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知函数，如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴和的图象分别交于点， ，直线与轴和的图象分别交于点，，设梯形的面积为，求数列的前项和.

（3）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）设数列的公比为，由已知得，解得得，，代入等比数列公式求解.

（2）根据题意，分别求得的纵坐标为，的纵坐标为，又，再代入梯形面积公式求得，然后用错位相减法求.

（3）由（2），得，所以对任意正整数恒成立，可转化为对任意正整数恒成立求解.

（1）设数列的公比为，则，由已知，得，两式相除，得，，或（舍），∴，

故数列的通项公式为.

（2）的纵坐标为，

的纵坐标为，

又，

∴梯形的面积为，

∴

①

又 ②

①-②，得

，

∴.

（3）由（2），得，∴，

∵，

当时，取最小值-28，

所以，故实数的取值范围为.