Question

如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“和谐函数”.

（1）判断函数是不是“和谐函数”，并说明理由；

（2）若函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

Answer

（1）是“和谐函数”，见解析（2）

【解析】

（1）根据题目所给的定义构造函数，再验证特殊值即可判定函数是上的“和谐函数”.

（2）将题意转化为在上至少有两个不相等的实数根，再求解即可.

【解析】
（1）函数的定义域为，

且在上单调递增；

研究函数，；

因为，

取，则，即，

，取，

则，即，

因为在上单调递增，

所以在区间上的值域为，即为.

所以函数是上的“和谐函数”.

（2）因为在单调递增，

因为函数是“和谐函数”，

所以存在，使得函数在区间上的值域为.

即，．

因此，即在上至少有两个不相等的实数根.

令，，方程可化为；

即在上至少有两个不相等的非负实数根；

记，的对称轴为直线；

所以；

解得，即t的取值范围为 .