Question

如图，在三棱柱中，平面，，，且，，，分别为棱，，，的中点．

（I）证明：直线与共面；

（Ⅱ）证明：平面平面；并试写出到平面的距离（不必写出计算过程）．

Answer

（I）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（I）由中位线的性质可得，再由棱柱的性质可得，根据平行线的传递性可得，从而得到四点共面，即可得证；

（Ⅱ）首先可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，再根据，即可得到平面，从而得证；设，则平面平面，过作于，可得即为到平面的距离，再在三角形中利用勾股定理及相似三角形的性质计算可得.

【解析】
（I）证明：，分别是，的中点，，

由棱柱性质易得，，

，，，四点共面，即直线与共面．

（Ⅱ）同（I）易证四边形为平行四边形，又，为中点，则，又平面，平面，

，，平面，平面

平面，又，平面，又平面，平面平面得证．

到平面的距离为．

（解答）如图，设，则平面平面，过作于，可得即为到平面的距离．在中，，，，，则，又，则在中，

故，即到平面的距离为．