Question

如图，在棱长为的正方体中，是底面的中心，分别为，的中点，求异面直线和所成角的余弦值.

Answer

【解析】

根据几何法求异面直线所成的角的思路，一是找（或作）出角来，二是用三角函数求角.，根据题意，取的中点，连接，易证，是异面直线和所成的角或其补角.，然后在相应三角形中求出的三边长，然后判断是否为直角三角形，若是用三角函数的定义求解，若不是用余弦定理求解.

如图，取的中点，连接.

因为为底面的中心，为的中点，为的中点，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，

所以，且，

所以是异面直线和所成的角或其补角.

连接.

因为，

，，

所以，

所以是直角三形，且，

所以，

即异面直线和所成角的余弦值是.