Question

设为实数，函数.

（I）若，求实数的取值范围；

（II）当时，讨论方程在上的解的个数.

Answer

（I）； （II）2个.

【解析】

（I）根据，列出不等式，对实数进行分类讨论，即可求解；

（II）由，化简得到函数的解析式，利用二次函数的性质，得出函数的单调性，根据零点的存在定理，即可求解.

（I）因为，即，

当时，不等式为恒成立，满足条件，

当时，不等式为，解得，

综上所述的取值范围是.

（II）由题意，函数，

可得当时，函数的对称轴方程为；

当时，函数的对称轴方程为；

当时，函数的对称轴方程为，

所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，

因为，

又由，

所以在上单调递减，

所以，

所以在和上各有一个零点，

综上所述时，函数在上有两个解.