Question

如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，AF∥DE，AD⊥DE，AF＝，DE＝.

（1）求直线CA与平面BEF所成角的正弦值；

（2）在线段AF上是否存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在；.

【解析】

（1）以D为坐标原点，射线DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间坐标系，求出坐标，进而求出坐标，求出平面BEF的法向量坐标，按空间向量线面角公式，即可求解；

（2）设M（3，0，t），0≤t≤，求出平面MBE的法向量坐标，利用是平面BED的一个法向量，按空间向量面面角公式，即可求出结论.

（1）因为DA，DC，DE两两垂直，所以以D为坐标原点，

射线DA，DC，DE分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示.则A（3，0，0），

F（3，0，），E（0，0，），B（3，3，0），

C（0，3，0），=（3，－3，0），＝（－3，－3，3），

＝（3，0，）.

设平面BEF的法向量为＝（x1，y1，z1），

取x1＝，得＝（，2，3）.

所以

所以直线CA与平面BEF所成角的正弦值为.

（2）假设存在点M在线段AF上满足条件，

设M（3，0，t），0≤t≤，

则＝（0，－3，t），＝（－3，－3，）.

设平面MBE的法向量为＝（x2，y2，z2），

令y2＝t，得m＝（－t，t，3）.

易知＝（3，－3，0）是平面BED的一个法向量，

所以|＝，

整理得2t2－t＋15＝0，解得t＝或t＝（舍去），

故在线段AF上存在点M，使得二面角M­BE­D的大小为60°，此时.