Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体.

若AD＝1，二面角C­AB­D的平面角的正切值为，求二面角B­AD­E的余弦值.

Answer

【解析】

根据已知可得平面，，进而有AB⊥平面ADC，得出二面角C­AB­D的平面角为∠CAD，求出，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，确定点坐标，求出平面BAD的法向量坐标，利用平面BAD的一个法向量＝（0，1，0），由空间向量面面角公式，即可求解.

平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD，

BD⊥DC，平面，平面，

平面，，

AB⊥平面ADC，，

所以二面角C­AB­D的平面角为∠CAD.

又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD.

依题意tan∠CAD＝.

因为AD＝1，所以CD＝.

设AB＝x（x＞0），则BD＝.

依题意△ABD∽△DCB，所以，

即，解得x＝，

故AB＝，BD＝，BC＝

以D为坐标原点，射线DB，DC分别为x轴，y轴的正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，

则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），

所以.

平面BAD的一个法向量＝（0，1，0）.

设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），

由得,

令x＝，得y＝－，z＝－，

所以为平面ADE的一个法向量.

所以.

由图可知二面角B­AD­E的平面角为锐角，

所以二面角B­AD­E的余弦值为.