Question

如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝，E为CD的中点，点F在线段PB上.试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.

Answer

当时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等

【解析】

由已知可证PA⊥底面ABCD，由余弦定理求出，进而有，以A为坐标原点，以DA，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，求出坐标，设＝λ（λ∈[0，1]），求出平面PDC的法向量坐标，而平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），按照空间向量的线面角公式，即可求解.

∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，

PA⊥AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD. 以A为坐标原点，

在中，，

以DA，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，

则A（0，0，0），D（－2，0，0），C（0，2，0），

B（2，2，0），E（－1，1，0），P（0，0，2），

∴＝（0，2，－2），＝（－2，0，－2），

＝（2，2，－2）.设＝λ（λ∈[0，1]），

则＝（2λ，2λ，－2λ），F（2λ，2λ，－2λ＋2），

∴＝（2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2），

平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1）.

设平面PDC的法向量为＝（x，y，z），

则∴，令x＝1，得＝（1，－1，－1）.

∵直线EF与平面PDC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，

，

即，∴2－2λ＝，解得，

∴当时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.