Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点P，Q分别为A₁B₁，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

（2）求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值．

Answer

（1）

（2）

【解析】

（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．

因为AB=AA1=2，

所以．

（1）因为P为A1B1的中点，所以，

从而，

故．

因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为．

（2）因为Q为BC的中点，所以，

因此，．

设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，

则即

不妨取，

设直线CC1与平面AQC1所成角为，

则，

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．