Question

已知双曲线的两个焦点为、，P为该双曲线上一点，满足，P到坐标原点O的距离为d，且，则________.

Answer

4或9

【解析】

求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．

双曲线1的b＝2，c2＝a2+4，

设P为右支上一点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，

由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，

由题意可得4c2＝mn，

又由三角形中线与边的关系可得:2 m2+2n2＝(2c)2+(2d)2，

即m2+n2＝2c2+2d2，

可得（m﹣n）2+2mn＝4a2+8c2＝2c2+2d2

又d2∈（25，81），

即25＜5a2+12＜81，

由a为正整数，可得a2＝4或9，

故答案为：4或9．