Question

下图是一块平行四边形园地，经测量，.拟过线段上一点 设计一条直路（点在四边形的边上，不计直路的宽度），将该园地分为面积之比为的左，右两部分分别种植不同花卉.设（单位：m）.

（1）当点与点重合时，试确定点的位置；

（2）求关于的函数关系式；

（3）试确定点的位置，使直路的长度最短.

Answer

(1)是的中点;(2);(3) 当,时,最短,其长度为.

【解析】

(1)由可知,从而证明是的中点.

(2)求出平行四边形的面积为,进而可求,从而用 可将表示出来,利用余弦定理即可得到关于的函数关系式.

(3)当 ,由二次函数的性质可求最值;当时,由基本不等式可求最值.

解:(1)当点与点重合时,由题设知,.

于是,其中为平行四边形边上的高.

得,即点是的中点.

(2)因为点在线段上,所以.当时,由(1)知

点在线段上.因为

所以.

由得,.所以中,由余弦定理得

.

当时,点在线段上,由

得.当时,

当时,

化简均为.

综上,.

(3)当时,,

于是当时,,此时.

当时,

当且仅当，即时，取等号

综上： 当距点，距点时，最短，其长度为.