Question

已知抛物线的焦点为F，直线l过点．

（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值

Answer

（1）（2）证明见详解.

【解析】

（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；

（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.

（1）由条件知直线l的斜率存在，设为，

则直线l的方程为：，

即．

从而焦点到直线l的距离为，

平方化简得：，．

故直线斜率为：.

（2）证明：设直线AB的方程为，

联立抛物线方程，消元得：．

设，，

线段AB的中点为，

故

因为，．

将M点坐标代入后整理得：

即可得：

故为定值．即证.