Question

己知函数，.

（1）画出的大致图象，并根据图象写出函数的单调区间；

（2）当且时，求的取值范围；

（3）是否存在实数a，b， 使得函数在上的值域也是？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由.

Answer

(1)

单调递减区间为,单调递增区间为

(2) ；(3) 存在使得函数在上的值域也是

【解析】

(1)根据函数图像的变换分析即可.

(2)根据(1)中图像可知,时,再根据对应的解析式求得再代入求取值范围即可.

(3)分,与三种情况分析即可.

(1) 可看做向下平移3个单位得到

.再将轴下方的图像沿轴向上翻折即可.

注意零点为且以为渐近线.

故在上单调递减, 在上单调递增

(2)由(1)中图像知,当时,且.

故,即.

令,因为故

故.

即的取值范围为.

(3)当时,故若存在实数a,b,使得函数在上的值域也是,则均不为.

①当时,为减函数,此时有故,

不满足

②当时,因为,即不满足.

③当时, 此时故 .

即是方程的两根.解得.满足.

综上, 存在使得函数在上的值域也是.