Question

已知函数．

（1）设．

①若，求函数的零点；

②若函数存在零点，求的取值范围．

（2）设，若对任意恒成立，试求的取值范围．

Answer

（1）1，；（2）.

【解析】

（1）①将代入解析式，分类讨论解方程即可得结果；②讨论的符号，同一坐标系中作出两个函数的图象，利用数形结合可得结果；（2）对任意恒成立，等价于的最大值与最小值的差不大于，分三种情况讨论函数的单调性，分别求出最大值与最小值，综合三种情况可得结果.

（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得： |x|=x﹣，

当x≥0时，解得：x=1；

当x＜0时，解得：x=（舍去）；

综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；

②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，

当a＞0时，作图如下：

由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；

同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；

又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；

综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．

（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，

∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；

当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；

又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，

则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，

①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；

h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；

∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，

∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，

综上，﹣2≤a≤﹣1；

②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，

且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，

∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；

③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减

（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；

∴h（x）min=h（0）=﹣a；

又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），

∴h（x）max=h（2）=2+a，

∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，

∴1≤a≤2；

综上所述，﹣2≤a≤2．