Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB//CD，∠BAD＝60°，CD＝1，AD＝2，AB＝4，点G在线段AB上，AG＝3GB，AA₁＝1

（1）证明：D₁G/平面BB₁C₁C，

（2）求二面角A₁－D₁G－A的余弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）在平面中找到与直线D1G平行的直线，再由线线平行推证线面平行即可；

（2）建立空间直角坐标系，处理二面角.

（1）连接，在四边形中：

因为，且//GB

故四边形为平行四边形，故可得//，

又平面BB1C1C，平面BB1C1C

故//平面BB1C1C.即证.

（2）因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，故底面ABCD

故以平面ABCD内垂直于DC的直线为轴

以分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

故可得：

设平面的法向量为

则，即

取

设平面的法向量为

则，即

取

又因为二面角A1－D1G－A是锐二面角，设其平面角为

故,即为所求二面角A1－D1G－A夹角的余弦值.