Question

已知直线l与抛物线C：y²＝4x交于A，B两点，M(2，y₀)(y₀≠0)为弦AB的中点，过M作AB的垂线交x轴于点P

（1）求点P的坐标；

（2）当弦AB最长时，求直线l的方程.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）设出直线方程，联立抛物线方程，由中点坐标即可得相关等式，求出AB的垂线，求其与轴的交点即可；

（2）利用（1）中结论，求弦长的最值，求得当弦长最大时直线的方程即可.

（1）设直线方程为

联立抛物线方程，

可得：

当时，

设

故

因为M(2，y0)为弦AB的中点

故，整理得：①

又点M(2，y0)在直线AB上，故②

故过M与AB垂直的直线方程为：

令，解得

用①-②可得：

因为，故，则

即可得，

故与AB垂直的直线与轴的交点为.

（2）由弦长公式可得：

又因为解得

由①可知，代入上式得

故当且仅当，即，时，弦长取得最大值；

此时直线方程为：

整理即为：或.

即弦长最大时，直线方程为：或.