Question

已知函数f（x），g（x）=f（x）-a，

（1）讨论函数g（x）的零点个数，并写出相应的实数a的取值范围；

（2）当函数g（x）有四个零点分别为x₁，x₂，x₃，x₄时，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围.

Answer

（1）见解析； （2）-2＜x1+x2+x3+x4≤.

【解析】

（1）利用两个函数图像的交点个数，来判定零点个数；

（2）结合函数图像的特点，得出零点的特征及范围.

（1）根据题意，g（x）=f（x）-a的零点的个数即y=f（x）与直线y=a交点的个数，

函数f（x）=的图象如图：

①当a＜-3时，y=f（x）与直线y=a没有交点，则函数g（x）没有零点；

②当a=-3时，y=f（x）与直线y=a有1个交点，则函数g（x）有1个零点；

③当-3＜a＜0时，y=f（x）与直线y=a有2个交点，则函数g（x）有2个零点；

④当a=0或a＞1时，y=f（x）与直线y=a有3个交点，则函数g（x）有3个零点；

⑤当0＜a≤1时，y=f（x）与直线y=a有4个交点，则函数g（x）有4个零点；

（2）由（1）的结论，函数g（x）有四个零点分别为x1，x2，x3，x4时，必有0＜a≤1，

设x1＜x2＜x3＜x4，则有x1+x2，|lgx3|=|lgx4|，

若|lgx3|=|lgx4|，则x3x4=1，

又由1＜x4≤10，则.

令，易知该函数在上单调递增，所以 即2＜x3+x4≤，

故-2＜x1+x2+x3+x4≤．