Question

定义域为的单调函数满足，且，

（1）求，；

（2）判断函数的奇偶性，并证明；

（3）若对于任意都有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）奇函数；（3）

【解析】

（1）取代入函数满足的等式，整理可得．再根据，结合定义和，算出；

（2）以取代，代入函数满足的等式，可得，由此可得是奇函数；

（3）根据函数是单调函数且，得是定义域在上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最大值，可算出的取值范围．

【解析】
（1）取，得，

即，，

结合，得，可得；

（2）取，得

移项得

函数是奇函数；

（3）是奇函数，且在上恒成立，

在上恒成立，

又是定义域在的单调函数，且，

是定义域在上的增函数．

在上恒成立．

在上恒成立．

令，

由于，．

．．

则实数的取值范围为．