Question

如图，在等腰梯形中，，，，，为梯形的高，将沿折到的位置，使得.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1) 过点作,垂足为,连接.再分别证明与即可.

(2) 分别以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可.

(1)证明：过点作,垂足为,则,,

连接,依题意,为等腰直角三角形,

故,

又,故,所以,

在四棱锥中,因为,,

所以,故,

因为,,且平面,

所以平面.

(2)由(1)知,平面,所以,,又,所以,,两两垂直.以为原点,分别以,,的方向为,,轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：

,,,,,

,,,

设平面的法向量为,则

,故,

取,故.

所以.

设直线与平面所成角为,则.