Question

在直角坐标系中，点，为直线：上的动点，过作的垂线，该垂线与线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

Answer

(1)；(2)是，和.

【解析】

(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.

(2)设直线的方程为,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.

(1)连接,则,

则根据抛物线的定义,

点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线.

则点的轨迹的方程为.

(2)设直线的方程为,,,

联立整理得：,

,

,,

直线的方程为,

同理：直线的方程为,

令得,,,

设中点的坐标为,则,,

所以.

.

圆的半径为.

所以以为直径的圆的方程为.

展开可得,

令,可得,解得或.

所以以为直径的圆经过定点和.

(2)①当直线不与轴垂直时,设其方程为,,,

由得,,

所以,

,.

所以,

,

直线的方程为,同理可得,直线的方程为,

令得,,,

所以以为直径的圆的方程为,

即,

即,

令,可得,解得或.

所以以为直径的圆经过定点和.

②当直线与轴垂直时,,,以为直径的圆的方程为

,也经过点和.

综上,以为直径的圆经过定点和.