Question

已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：.

Answer

(1)当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)证明见解析.

【解析】

(1)求导后分与两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.

(2)根据(1)中的结论,求得最小值从而得出当时,,再构造函数式证明.或构造,求导后根据隐零点的方法证明.

(1)依题意,的定义域为,

,

当时,；当时,.

①当时,若,则；若,则.

所以在上单调递减,在上单调递增.

②当时,若,则；若,则.

所以在上单调递增,在上单调递减.

综上,当时,在上单调递减,在上单调递增；

当时,在上单调递增,在上单调递减.

(2)法一：由(1)知,当时,,在上单调递增,在上单调递减,所以,

故当时,.

又当时,,

所以当时,,故,

所以.

(2)法二：令,则,

令,则为增函数,且

,,

所以有唯一的零点,,

所以当时,,为减函数；当时,为增函数.

所以.

由(1)知,当时,在上为减函数,在上为增函数,故

,即,

所以,

所以,故.