Question

对于定义在区间D上的函数:若存在闭区间和常数e，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.

（1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；

（2）若函数是区间上的“平底型”函数，求m和n的值.

Answer

（1）是平底型函数，不是平底型函数，理由见解析（2）

【解析】

（1）先分段讨论去绝对值符号，再求函数的值域，再结合“平底型”函数的性质判断即可得解；

（2）由函数为“平底型”函数等价于，则可解出的值，然后再将值代入运算即可得解.

【解析】
（1）对于函数，

当时， ，

当时，，

故为“平底型”函数，

对于函数，

当时，，

当时，，

即不存在闭区间，使当时，恒成立，

故不为“平底型”函数；

（2）由“平底型”函数定义可知，存在闭区间和常数e，使得对任意，都有，

即，

所以恒成立，

即恒成立，

即，解得或 ，

①当时，，

当时，，当时，，

即函数为“平底型”函数，

②当时，，

当时，，当时，，

即函数不为“平底型”函数，

综上可得：函数是区间上的“平底型”函数，则.