Question

已知数列满足：

（1）求：，

（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（3）若且对于恒成立，求实数的取值范围

Answer

（1）；（2），证明见详解；（3）

【解析】

（1）通过赋值，结合已知条件，即可求得；

（2）根据数列的规律，进行归纳总结，再遵循数学归纳法的证明过程即可证明；

（3）先求，将问题转换为恒成立问题，再求最值即可.

（1）

因为，故

（2）由（1）猜想

①当时，，显然成立

②假设当时成立，即

则当时，

即证当时候，猜想成立；

综上所述：对任意正整数都成立.

（3）因为，故：

若对于恒成立，则只需满足恒成立即可

当时，恒成立满足题意；

当时，显然不可能成立；

当时，对称轴

故在单调递减，

故

解得，又，

故当时，满足题意.

综上所述，时，对于恒成立.