Question

已知函数；

（1）当时，若，求的取值范围；

（2）若定义在上的奇函数满足，且当，，求在上的解析式；

（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式化为，且且，解不等式组可得的取值范围；

（2）利用奇偶性得出，，转化得出当时，，当时，根据函数的奇偶性求解即可．

（3）关于的不等式关于的不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，即，分类讨论后，综合讨论结果，可得实数的取值范围．

【解析】
（1）原不等式可化为，

，且，且，

得．

（2），，

所以的周期为：4，

当时，，

当时，，

定义在上的奇函数，

，即，

当时，，

当时，，

当时，，

（3）关于的不等式在上恒成立，

记，

关于的不等式在上恒成立，

在上恒成立，

当时，，

，即解得．

当，即时，，，即满足条件;

当时，，

由在上恒成立，

得，解得．

综上所述，实数的取值范围是．