Question

如图，在平行四边形中，，平面平面，且.

（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）存在点，点为的中点，证明见解析；（2）

【解析】

（1）容易判断出点为的中点，根据中位线定理得到，再根据线面平行的判定定理证明即可；

（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）存在点，点为的中点

证明：当点为的中点时，连结交于，

∵平行四边形，∴为的中点，

连结，则，

∵平面，平面，∴平面.

（2）∵，

∴，∴，，∴，

又∵平面平面，∴平面，平面，

以为轴，为轴，为轴，如图建系：

则，，，，

∴，

∴为平面的一个法向量，

令平面的一个法向量为，

∴取，，

∴平面的一个法向量为，

令二面角为，由题意可知为锐角，

则.