Question

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点是椭圆上的点，是椭圆上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.

Answer

（1）；（2）定值，证明见解析

【解析】

（1）根据离心率，在椭圆上以及，列方程组求解，，的值，可得椭圆标准方程；

（2）根据，得到直线与直线斜率的关系，设和的直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，可以得到点和点横坐标和纵坐标的关系，再利用斜率的定义表示出，化简即可.

（1）根据题意，，解得，

∴椭圆的方程为；

（2）∵，则直线与直线的斜率之和为0，

令，，

令直线的斜率为，则直线的斜率为，

则的方程为，

则，同理：，

则，，

又∵，，

则

∴（定值）