Question

有一种叫“对对碰”的游戏，游戏规则如下：一轮比赛中，甲乙两人依次轮流抛一枚质地均匀的硬币，甲先抛，每人抛3次，得分规则如下：甲第一次抛得分，再由乙第一次抛，若出现朝上的情况与甲第一次抛的朝上的情况一样，则本次得2分，否则得1分；再甲第二次抛，若出现朝上的情况与乙第一次抛的朝上的情况一样，则本次得分是乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再乙第二次抛，若出现朝上的情况与甲第二次抛的朝上的情况一样，则本次得分是甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；按此规则，直到游戏结束.记甲乙累计得分分别为.

（1）一轮游戏后，求的概率；

（2）一轮游戏后，经计算得乙的数学期望，要使得甲的数学期望，求的最小值.

Answer

（1）；（2）2

【解析】

（1）由题知，当时情况比较多，直接求解比较困难，所以先求出，再利用求解即可；

（2）求出每一次抛币甲得分的期望，计算的最小正整数即可；或者列出甲所有得分的可能性，列分布列，计算的最小正整数.

抛硬币出现正面朝上，反面朝上的概率均为，

（1）由游戏规则可知：且每次抛币得分为1分的概率均为，

则，则；

（2）记分别表示甲乙第次抛币的得分，

由题意，甲第一次得分为，

甲第二次得分分布列：

1

2

3

甲第三次得分分布列：

1

2

3

4

5

∴，∴，∵，∴的最小值为2

法二：可能取值为，，，，，

的分布列为

，∴，

∵，∴的最小值为2.