Question

已知函数（为自然对数的底数）在点的切线方程为.

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求整数的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）计算的导数，根据，也在切线上，列出方程组求解；

（2）构造函数，判断的单调性，求出的最小值，而的值无法直接计算出来，所以根据零点存在定理，确定的范围，再根据，得到一个等式转化的关系，从而确定的范围，最后确定整数的最大值.

（1）令，则，

得：，，

由题得：

（2）根据题意，要证不等式对于任意恒成立，

即证时，的最小值大于，

令，

记，

当时，；当时，，

故即在上单调递减，在上单调递增，

又，，且，，

故存在唯一，使，

故当时，；当时，；

故在上单调递减，在上单调递增，

所以

一方面：

另一方面：由，即，

得

由得：，进而，

所以 ，又因为是整数，所以，即.