Question

已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的体积等于__________，球的表面积等于__________.

Answer

【解析】

由正四面体的内切球的半径是高的可求得的半径，得其体积，把底面向上平移，平移到与内切球相切，这个平面以上的部分仍然是正四面体，而第二个球就是这个正四面体的内切球，此球半径是第一个球半径的一半，依次类推可得第个球．

如图，是三棱锥的高，是的外心，设，则，，

是三棱锥的外接球和内切球的球心，在上，

设外接球半径为，内切球半径为，则由得，，所以，

，

，

过中点作与底面平行的平面与三条棱交于点，则平面与球相切，由题意球是三棱锥的内切球，注意到三棱锥的棱长是三棱锥棱长的，所以有其内切球半径，同理球的半径为，则是仅比为的等比数列，所以，即，

．

故答案为：；．